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题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai−bi)2\sum (a_i-b_i)^2∑(ai​−bi​)2
其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度， bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入描述:

共三行，第一行包含一个整数 n ，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出描述:

一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

一、归并排序的基本思想是将待排序的序列分成两个子序列，分别对两个子序列进行排序，然后将两个已排序的子序列合并成一个有序序列。通过递归地将序列分解成足够小的子序列，再将子序列两两合并，最终得到完全有序的序列。

归并排序的具体步骤如下：

1. 分解（Divide）：将待排序的序列不断二分，直到得到足够小的子序列。

2. 解决（Conquer）：对每个子序列进行排序，可以使用递归调用归并排序。

3. 合并（Merge）：将两个已排序的子序列合并成一个有序序列。合并操作中，需要创建一个临时数组来存储合并后的有序序列。

归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)，其中 n 是待排序序列的长度。它的排序过程是稳定的，即相等元素的相对顺序不会改变。

归并排序可以用于排序各种类型的数据，尤其适用于链表结构。相对于其他排序算法，归并排序的主要优点是在最坏情况下也能保证 O(nlogn) 的时间复杂度，因此在实际应用中被广泛使用。

合并的过程中，需要用到一个辅助数组来暂存合并后的有序数组。具体来说，假设待合并的两个有序数组分别为 A 和 B，它们的长度分别为 n 和 m，合并后的有序数组为 C，那么合并的过程可以按如下步骤进行：

1.定义三个指针 i、j 和 k，分别指向数组 A、B 和 C 的起始位置。

2.比较 A[i] 和 B[j] 的大小，将小的元素放入 C[k] 中，并将对应指针向后移动一位。

3.重复步骤 2，直到其中一个数组的元素全部放入 C 中。

4.将另一个数组中剩余的元素放入 C 中。

归并排序的优点是稳定性好，即对于相等的元素，在排序前后它们的相对位置不会改变。缺点是需要额外的空间来存储辅助数组。

二、逆序对是指在一个序列中，如果两个元素的顺序与它们在原序列中的顺序相反，即前面的元素大于后面的元素，则这两个元素构成一个逆序对。

例如，在序列 [2, 4, 1, 3, 5] 中，有三个逆序对：(2, 1)，(4, 1)，(4, 3)，因为这些元素的顺序与它们在原序列中的顺序相反。

逆序对在排序算法中具有重要的意义，它可以衡量一个序列的有序程度。对于一个完全有序的序列，逆序对数为0，而对于一个完全逆序的序列，逆序对数最大。因此，逆序对可以用来评估一个序列的有序性。

在算法设计中，可以使用分治法来统计逆序对的数量。例如，可以使用归并排序算法，在归并的过程中统计逆序对的数量。具体来说，归并排序将序列分为两个子序列，然后分别对子序列进行排序，并在合并的过程中统计逆序对的数量。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
const int mod = 1e8 - 3;

int n;
int c[N], tmp[N];

struct Node {
    int data;
    int idx;
};

bool cmp(Node x, Node y) {
    return x.data < y.data;
}

int merge_sort(int l, int r) {
    if (l >= r) return 0;
    int mid = l + r >> 1;
    int res = (merge_sort(l, mid) + merge_sort(mid + 1, r)) % mod;
    int i = l, j = mid + 1, k = 1;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (c[i] <= c[j]) tmp[k++] = c[i++];
        else {
            res += mid - i + 1;
            tmp[k++] = c[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) tmp[k++] = c[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = c[j++];
    for (int i = l, j = 1; i <= r; i++, j++) c[i] = tmp[j];
    return res % mod;
}

int main() {
    cin >> n;
    Node a[N], b[N];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i].data;
        a[i].idx = i;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> b[i].data;
        b[i].idx = i;
    }

    sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
    sort(b + 1, b + 1 + n, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        c[b[i].idx] = a[i].idx;

    int ans = merge_sort(1, n);
    cout << ans % mod << endl;
    return 0;
}

具体解析看这个：刷题总结——火柴排队（NOIP2013）-CSDN博客

三、树状数组

树状数组（Binary Indexed Tree，BIT），也被称为 Fenwick 树，是一种用于高效计算前缀和的数据结构。它可以在 O(logn) 的时间复杂度内完成单点更新和前缀和查询操作。

树状数组主要用于解决频繁更新数组元素、频繁查询前缀和的问题，例如求逆序对、求区间和等。它的主要思想是将原始数组按照某种方式进行压缩，从而减少查询和更新操作的时间复杂度。

树状数组的核心是一个数组，通常用 BIT 表示。数组的下标从 1 开始，对应于原始数组的元素位置。数组的每个元素存储了一部分原始数组的元素和，具体的计算方式是通过二进制的技巧来实现的。

树状数组的基本操作包括单点更新和前缀和查询：

1. 单点更新：通过不断修改 BIT 数组的某些元素，实现对原始数组中某个位置上元素的更新。更新操作的时间复杂度为 O(logn)。

2. 前缀和查询：通过不断累加 BIT 数组的某些元素，实现对原始数组的前缀和计算。查询操作的时间复杂度为 O(logn)。

树状数组的构建过程相对简单，首先初始化 BIT 数组为全 0，然后通过单点更新操作依次更新 BIT 数组中的元素。构建完成后，即可进行前缀和查询。

树状数组的应用非常广泛，例如在求逆序对的问题中，可以使用树状数组来统计逆序对的数量；在求区间和的问题中，可以使用树状数组来快速计算任意区间的和。

首先不难想到a序列的第k小与b序列的第k小分别对应就能达到答案要求

将序列a，b做一些类似离散化的处理
先给序列中每个数标上编号，然后按原来的权值排序

这样a，b都变成了1-n的排列
现在问题可以转化为最少将b做多少次相邻元素的交换可以与a完全相同

我们设数组c[a[i]]=b[i]

若b数组与a数组完全相同，那么c[a[i]]=a[i]

即c[i]=i

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5, mod = 1e8 - 3;

int n;
int c[N], tr[N];

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

signed main() {
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        c[x] = i;
    }

    int res = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        int idx = c[x];
        add(idx, 1);
        res += i - sum(idx);
    }

    cout << res % mod << endl;

    return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int NN = 1e5 + 4;
const int P = 99999997;
int n;
vector<int> a(NN), b(NN), c(NN);
int lower(int x) {
    return x & (-x);
}
void add(int x) {
    while (x) {
        c[x]++;
        x -= lower(x);
    }
}
int get(int x) {
    int sum = 0;
    while (x <= n) {
        sum += c[x];
        x += lower(x);
    }
    return sum;
}
int main() {
    cin>>n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin>>x;
        a[x] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin>>x;
        b[i] = a[x];
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = (ans + get(b[i] + 1)) % P;
        add(b[i]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}